高中數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單幾何體的面積和體積（高一數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積）
一、知識(shí)要點(diǎn)
（一）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積
將側(cè)面沿母線展開在平面上，則其側(cè)面展開圖的面積即為側(cè)面面積。
1、圓柱的側(cè)面展開圖——矩形
圓柱的側(cè)面積
2、圓錐的側(cè)面展開圖——扇形
圓錐的側(cè)面積
3、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖——扇環(huán)
圓臺(tái)的側(cè)面積
（二）直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積
把側(cè)面沿一條側(cè)棱展開在一個(gè)平面上，則側(cè)面展開圖的面積就是側(cè)面的面積。
1、柱的側(cè)面展開圖——矩形
直棱柱的側(cè)面積
2、錐的側(cè)面展開圖——多個(gè)共點(diǎn)三角形
正棱錐的側(cè)面積
3、正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖——多個(gè)等腰梯形
正棱臺(tái)的側(cè)面積
說明：這個(gè)公式實(shí)際上是柱體、錐體和臺(tái)體的側(cè)面積公式的統(tǒng)一形式
①即錐體的側(cè)面積公式；
②c’＝c時(shí)即柱體的側(cè)面積公式；
（三）棱柱和圓柱的體積
斜棱柱的體積＝直截面的面積×側(cè)棱長(zhǎng)
（四）棱錐和圓錐的體積
（五）棱臺(tái)和圓臺(tái)的體積
說明：這個(gè)公式實(shí)際上是柱、錐、臺(tái)體的體積公式的統(tǒng)一形式：
①
時(shí)即為錐體的體積公式；
②S上＝S下時(shí)即為柱體的體積公式。
（六）球的表面積和體積公式
（七）簡(jiǎn)單的組合幾何體的表面積和體積——割補(bǔ)法的應(yīng)用
割——把不規(guī)則的組合幾何體分割為若干個(gè)規(guī)則的幾何體；
補(bǔ)——把不規(guī)則的幾何體通過添補(bǔ)一個(gè)或若干個(gè)幾何體構(gòu)造出一個(gè)規(guī)則的新幾何體，如正四面體可以補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖：
二、考點(diǎn)與典型例題
考點(diǎn)一 幾何體的側(cè)面展開圖
【例1】有一根長(zhǎng)為5cm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端A、D，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少厘米？
解：展開后使其成一線段AC＝
考點(diǎn)二 求幾何體的面積
【例2】設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形的冷水塔頂，高是0.85m，底面的邊長(zhǎng)是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板？（保留兩位有效數(shù)字）
解：
答：略。
考點(diǎn)三 求幾何體的體積
【例3】求棱長(zhǎng)為
的正四面體的體積。
分析：將正四面體通過補(bǔ)形使其成為正方體，然后將正方體的體積減去四個(gè)易求體積的小三棱錐的體積。
解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為1，則：V正四面體＝V正方體－4V三棱錐＝1－
。
考點(diǎn)四 求不規(guī)則幾何體的體積
【例4】證明四面體的體積
，其中a，b，c為自同一頂點(diǎn)S出發(fā)的三條棱SA、SB、SC的長(zhǎng)，α，β為點(diǎn)S處的兩個(gè)面角∠BSC、∠ASC，C為這兩個(gè)面所夾二面角的大小。
證明：通過補(bǔ)形，可將此三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，如圖。則該三棱柱的體積可以利用“直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng)”來進(jìn)行求解，若設(shè)過A點(diǎn)的直截面為AHD，則由題意知：∠ADH＝C；
又AD⊥SC，故AD＝SA×sinβ＝a·sinβ；
若過B作BE⊥SC于E，則BE＝HD＝BC×sinα＝b·sinα.所以，
從而有
。
考點(diǎn)五 球的表面積和體積
【例5】 在球心的同側(cè)有相距為9的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49π和400π，求球的表面積和體積。
分析：畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)求球的半徑
解：設(shè)球的半徑為R，O為球心，O1、O2分別是截面圓的圓心，如圖。
則O1A＝7，O2B＝20，OA＝OB＝R，從而分別解三角形OO2B和三角形OO1A得到OO1和OO2，由OO1－OO2＝9解得R＝25，從而
球的表面積為2500π，球的體積為
。
考點(diǎn)六 求點(diǎn)到平面的距離——等積法的應(yīng)用
【例6】在正方體ABCD－A’B’C’D’中，已知棱長(zhǎng)為a，求B到平面AB’C的距離。
解：設(shè)B到面AB’C的距離為h，因?yàn)锳B’＝B’C＝CA＝
a，
所以SΔAB’C＝
（a）＝
a，
因此
·a·h＝VB－AB′C＝ VB′－ABC ＝·a·a＝a，
故h＝
a，即B到面AB′C的距離為a。
考點(diǎn)七 擬柱體通用體積公式
擬柱體：所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體.它在這兩個(gè)平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面.其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的距離叫做擬柱體的高。
，選A。
【例2】 如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF//AB，
，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為
A.
B. 5
C. 6
D.
，選D。
三、涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法
計(jì)算能力是中學(xué)生要掌握的最基本的能力之一。
立體幾何的題型從內(nèi)容上可分為兩大類，一是空間位置關(guān)系的研究，二是空間量度（主要是角度與距離）的求解，也是高考命題中立體幾何的兩類基本題型。
本講主要考查空間圖形的面積與體積的計(jì)算能力，對(duì)空間想象能力的要求也比較高，因?yàn)樵谶\(yùn)用公式求解之前，必須先求相關(guān)的角度與距離。
要通過對(duì)幾種特殊幾何體的面積和體積公式的推導(dǎo)，掌握割補(bǔ)法、等積變換法等重要數(shù)學(xué)方法在解決面積與體積求解問題中的應(yīng)用。
所以，對(duì)空間圖形的變換能力的要求較高，要通過一些典型的空間圖形變換的例子，掌握變換技巧，從而化難為易，化不規(guī)則為規(guī)則，達(dá)到快速求解的目的。
