高中數學簡單幾何體的面積和體積（高一數學簡單幾何體的表面積與體積）
一、知識要點
（一）圓柱、圓錐、圓臺的側面積
將側面沿母線展開在平面上，則其側面展開圖的面積即為側面面積。
1、圓柱的側面展開圖——矩形
圓柱的側面積
2、圓錐的側面展開圖——扇形
圓錐的側面積
3、圓臺的側面展開圖——扇環
圓臺的側面積
（二）直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積
把側面沿一條側棱展開在一個平面上，則側面展開圖的面積就是側面的面積。
1、柱的側面展開圖——矩形
直棱柱的側面積
2、錐的側面展開圖——多個共點三角形
正棱錐的側面積
3、正棱臺的側面展開圖——多個等腰梯形
正棱臺的側面積
說明：這個公式實際上是柱體、錐體和臺體的側面積公式的統一形式
①即錐體的側面積公式；
②c’＝c時即柱體的側面積公式；
（三）棱柱和圓柱的體積
斜棱柱的體積＝直截面的面積×側棱長
（四）棱錐和圓錐的體積
（五）棱臺和圓臺的體積
說明：這個公式實際上是柱、錐、臺體的體積公式的統一形式：
①
時即為錐體的體積公式；
②S上＝S下時即為柱體的體積公式。
（六）球的表面積和體積公式
（七）簡單的組合幾何體的表面積和體積——割補法的應用
割——把不規則的組合幾何體分割為若干個規則的幾何體；
補——把不規則的幾何體通過添補一個或若干個幾何體構造出一個規則的新幾何體，如正四面體可以補成一個正方體，如圖：
二、考點與典型例題
考點一 幾何體的側面展開圖
【例1】有一根長為5cm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端A、D，則鐵絲的最短長度為多少厘米？
解：展開后使其成一線段AC＝
考點二 求幾何體的面積
【例2】設計一個正四棱錐形的冷水塔頂，高是0.85m，底面的邊長是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板？（保留兩位有效數字）
解：
答：略。
考點三 求幾何體的體積
【例3】求棱長為
的正四面體的體積。
分析：將正四面體通過補形使其成為正方體，然后將正方體的體積減去四個易求體積的小三棱錐的體積。
解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，則正方體的棱長為1，則：V正四面體＝V正方體－4V三棱錐＝1－
。
考點四 求不規則幾何體的體積
【例4】證明四面體的體積
，其中a，b，c為自同一頂點S出發的三條棱SA、SB、SC的長，α，β為點S處的兩個面角∠BSC、∠ASC，C為這兩個面所夾二面角的大小。
證明：通過補形，可將此三棱錐補成一個三棱柱，如圖。則該三棱柱的體積可以利用“直截面面積×側棱長”來進行求解，若設過A點的直截面為AHD，則由題意知：∠ADH＝C；
又AD⊥SC，故AD＝SA×sinβ＝a·sinβ；
若過B作BE⊥SC于E，則BE＝HD＝BC×sinα＝b·sinα.所以，
從而有
。
考點五 球的表面積和體積
【例5】 在球心的同側有相距為9的兩個平行截面，它們的面積分別為49π和400π，求球的表面積和體積。
分析：畫出球的軸截面，利用球的截面性質求球的半徑
解：設球的半徑為R，O為球心，O1、O2分別是截面圓的圓心，如圖。
則O1A＝7，O2B＝20，OA＝OB＝R，從而分別解三角形OO2B和三角形OO1A得到OO1和OO2，由OO1－OO2＝9解得R＝25，從而
球的表面積為2500π，球的體積為
。
考點六 求點到平面的距離——等積法的應用
【例6】在正方體ABCD－A’B’C’D’中，已知棱長為a，求B到平面AB’C的距離。
解：設B到面AB’C的距離為h，因為AB’＝B’C＝CA＝
a，
所以SΔAB’C＝
（a）＝
a，
因此
·a·h＝VB－AB′C＝ VB′－ABC ＝·
a·a＝
a
，
故h＝
a，即B到面AB′C的距離為a。
考點七 擬柱體通用體積公式
擬柱體：所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體.它在這兩個平面內的面叫做擬柱體的底面.其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的距離叫做擬柱體的高。
，選A。
【例2】 如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，
，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為
A.
B. 5
C. 6
D.
，選D。
三、涉及的主要數學思想方法
計算能力是中學生要掌握的最基本的能力之一。
立體幾何的題型從內容上可分為兩大類，一是空間位置關系的研究，二是空間量度（主要是角度與距離）的求解，也是高考命題中立體幾何的兩類基本題型。
本講主要考查空間圖形的面積與體積的計算能力，對空間想象能力的要求也比較高，因為在運用公式求解之前，必須先求相關的角度與距離。
要通過對幾種特殊幾何體的面積和體積公式的推導，掌握割補法、等積變換法等重要數學方法在解決面積與體積求解問題中的應用。
所以，對空間圖形的變換能力的要求較高，要通過一些典型的空間圖形變換的例子，掌握變換技巧，從而化難為易，化不規則為規則，達到快速求解的目的。
