11.5 方向?qū)?shù), 梯度向量和切平面
根據(jù)鏈?zhǔn)?span id="brp555r" class="candidate-entity-word" data-gid="2736353">求導(dǎo)法則可知, 如果 f(x,y) 是可微的,則 f 沿曲線 x=g(t), y=h(t) 對(duì)于 t 的變化率是下面式子:
上面式子 f 對(duì)于 t增量的變化率依賴(lài)于沿曲線運(yùn)動(dòng)的方向.
方向?qū)?shù)的解釋
函數(shù) z=f(x,y) 表示空間曲面 S. 則點(diǎn) P(x0, y0,z0) 在 S 上. 過(guò)點(diǎn) P 和 P0 的 u 方向的垂直平面交 S 與曲線 C. f 沿方向 u 的變化率是 C 在點(diǎn) P 的切線的斜率. 觀察下面動(dòng)畫(huà):
方向?qū)?shù)推廣了兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在可以求沿任何方向的變化率了.
計(jì)算
一個(gè)更有效的計(jì)算 f 在 P0cbf;P0方向 u 的方向?qū)?shù)的公式,就是 u 與 f 在 P0P0 梯度的點(diǎn)擊.
方向?qū)?shù)的性質(zhì)
根據(jù)上式, 當(dāng) cosθ=1 時(shí), u 與 ▽f 同方向時(shí), 函數(shù) f 增加最快, 類(lèi)似, 反方向減少最快. 而正交于梯度的方式 u 是 f 變化率為 0 的方向, 此時(shí) θ=pi/2.
函數(shù) f(x) = x^2/2+y^2/2 在 (1,1) 增加最快的方向梯度的方向, 它對(duì)應(yīng)于在點(diǎn) (1,1,1) 在曲面上最陡峭的方向.
梯度和等高線的切線
函數(shù) f(x,y) 的定義域的每個(gè)點(diǎn) (x0,y0)(x0,y0), f 的梯度正交于過(guò) (x0,y0)(x0,y0) 的等高線.
創(chuàng)建互動(dòng)等高線，把法線顯示為一個(gè)點(diǎn)：
增量和距離
f 沿方向 u 的變化有多少, 如從點(diǎn) P0P0 沿 u 移動(dòng)一點(diǎn)點(diǎn)距離 ds , f 的值變化多少等于方向?qū)?shù)乘以ds .
三元函數(shù)
現(xiàn)在再看三元可微函數(shù) f(x,y,z), 與之對(duì)應(yīng)的單位向量 , 則
切平面和法線
三元可微函數(shù) f(x,y,z) 的梯度向量滿(mǎn)足二元函數(shù)梯度的所有性質(zhì).
觀察下面 “-17+x+2 y+4 z=0” 的等位面上的切平面動(dòng)畫(huà):
(完)「予人玫瑰, 手留余香」
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