大家在讀中學(xué)時都學(xué)習(xí)過有理數(shù)與無理數(shù)，這里給出幾個數(shù)，你能立刻說出它是有理數(shù)還是無理數(shù)嗎？
怎么樣，是不是很簡單？
不過，你有沒有想過，為什么要稱這兩種數(shù)為“有理數(shù)”、“無理數(shù)”？你是否認為它們分別指的是“有道理的數(shù)”和“沒道理的數(shù)”？今天就和大家來聊一聊“有理數(shù)”和“無理數(shù)”名稱的由來。
1 有理數(shù)
有理數(shù)，是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，而整數(shù)又可以分為正整數(shù)、負整數(shù)和零。
而整數(shù)總能寫成的形式，其中是整數(shù)（零可以寫成）。
因此有理數(shù)就是能夠化為兩個整數(shù)之比的數(shù)，有理數(shù)的希臘文為，原意為“成比例的數(shù)”，英文以ratio（比例）為詞根，在字尾加上-nal構(gòu)成形容詞，全名為rational number，直譯成漢語應(yīng)該是“可比數(shù)”。
那么，為什么如今我們學(xué)習(xí)的名稱不是“可比數(shù)”，而是“有理數(shù)”呢？這是由于數(shù)學(xué)知識在飄洋過海的過程中出現(xiàn)了“誤讀”，這是東西方數(shù)學(xué)文化傳播中的一個著名烏龍事件。
有理數(shù)這一概念最早源自西方《幾何原本》，在中國明代，從西方傳入中國，明末數(shù)學(xué)家徐光啟和學(xué)者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞（）譯為“理”，這里的“理”指的是它的本意“比值”。
徐光啟與利瑪竇
而日本在明治維新以前，歐美數(shù)學(xué)典籍的譯本多半采用中國文言文的譯本。因此日本學(xué)者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了“道理”，而不是文言文所解釋的“比值”。后來，日本學(xué)者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”。
在明治維新之后，日本的數(shù)學(xué)得到了迅猛的發(fā)展。到了清末，近代處于落后地位的中國不得不開始派遣留學(xué)生到日本進行學(xué)習(xí)，中國留學(xué)生又將錯誤傳回中國，大有“出口轉(zhuǎn)內(nèi)銷”的意味，于是“有理數(shù)”以訛傳訛，沿用至今。
2 無理數(shù)
有理數(shù)聽起來就像是“有道理的數(shù)”，這個觀點若是放在古希臘時代可能會非常流行，特別是對于奉行“萬物皆數(shù)”，將（有理）數(shù)看作是宇宙萬物本源的畢達哥拉斯學(xué)派更是如此，他們認為所有事物的性質(zhì)都是由數(shù)量關(guān)系決定的，萬物按照一定的數(shù)量比例而構(gòu)成和諧的秩序。
畢達哥拉斯（約公元前580年~約公元前500年）
然而畢達哥拉斯的學(xué)生希帕索斯發(fā)現(xiàn)正方形對角線與邊長為不可公度量（即兩者的長度之比不能表達為整數(shù)之比），無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)對畢達哥拉斯的哲學(xué)造成了毀滅性的打擊，發(fā)現(xiàn)了真理的希帕索斯被畢達哥拉斯學(xué)派的門徒們拋進大海處死。于是很多中學(xué)教師這樣告訴學(xué)生：希帕索斯因為發(fā)現(xiàn)無理數(shù)而失去生命，此事太沒有“道理”，所以他所發(fā)現(xiàn)的數(shù)被稱為“無理數(shù)”。
然而，這個傳說未必可信，畢達哥拉斯學(xué)派有許多嚴格且奇怪的規(guī)矩，比如“禁食豆子”，“東西落下了，不要用手揀起來”等等，最重要的是，在畢達哥拉斯建立的團體中，財產(chǎn)是公有的，而且學(xué)派的成員們有一種共同的生活方式，甚至于科學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)也被認為是集體的，所以更可能的情形是——希帕索斯因違反了畢達哥拉斯學(xué)派的規(guī)矩而被驅(qū)逐出學(xué)派。
因此認為無理數(shù)是“沒有道理的數(shù)”實際上是對其的誤解。同有理數(shù)一樣，無理數(shù)的命名也是源于翻譯問題。實際上，無理數(shù)的英文為irrational number，irrational的原意是“不可比的”或“不能表達成比率的”。所謂的“無理數(shù)”，不過是“無比數(shù)”的誤譯而已。
無理數(shù)無法寫成兩個整數(shù)之比，最著名的例子莫過于對是無理數(shù)的證明，其方法是反證法，我們可以假設(shè)是一個有理數(shù)，即它可以寫成兩個互素的整數(shù)之比
則
則必為一偶數(shù)，因此必為一偶數(shù)，令
則
則必為一偶數(shù)，必為一偶數(shù)，則都為偶數(shù)，這一結(jié)論是荒謬的，因為我們已經(jīng)假設(shè)了是互素的，而兩個偶數(shù)不可能互素，它們至少還有公因數(shù)2，因此假設(shè)不成立，是無理數(shù)得證。
3 生活中的無理數(shù)
其中在生活中，我們也離不開無理數(shù)。比如你拿一張日常生活中隨處可見的A4紙，其長寬之比即約為
而將其對折后，長寬之比仍然為
繼續(xù)折，無論你折多少次，你得到的永遠是“型紙”！這個數(shù)，永遠都“折”不掉！因為只有這個數(shù)才具備這個神奇的性質(zhì)。
還有著名的黃金分割比
也是一個無理數(shù)，其大量存在于繪畫、建筑、藝術(shù)作品中。
我們還能說無理數(shù)是“沒有道理的數(shù)”嗎？
參考文獻[1]蔣迅,王淑紅.無理數(shù)不是沒有道理的數(shù)[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2017(Z1):83.[2]（英）羅素.西方哲學(xué)史[M].商務(wù)印書館，2016.[3]汪曉勤.HPM:數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].科學(xué)出版社，2017.
來源：大小吳的數(shù)學(xué)課堂
編輯：荔枝、yrLewis
