在古代，缺少數學技巧的情況下，圓周率的計算是相當困難的，我們國家偉大的數學家，天文學家祖沖之（429-500，字文遠），利用復雜的割圓術，將圓周率的計算精確到小數點第七位，這是已經是相當了不起的成就了，直到1000年后才被阿拉伯數學家阿爾·卡西才打破紀錄。
我國古代杰出數學家祖沖之
在牛頓-萊布尼茨發明微積分之后，計算圓周率的巧妙辦法更多了，后來虛數的使用，提供了更多巧妙的辦法，看到在眾多計算圓周的公式，大家是不是很納悶，那些復雜的公式，數學家是怎么找到的呢？
今天，我就和大家分享一個，利用虛數，求圓周率的萬能方法，我們的推導過程，都是初等數學知識。
首先，我們需要漂亮的歐拉恒等式：
歐拉恒等式
然后我們很容易得到：
歐拉恒等式變換后的結果
這個奇怪的恒等式，就是我們生成圓周率級數的萬能公式，因為右邊的虛數，我們有巧妙的辦法轉換成無窮級數。
不過你需要拿出一個基礎的泰勒級數：
對數的泰勒級數展開式
這個泰勒級數，自變量取復數單位±i，你盡管放心大膽去用。
對數級數賦值
然后我們就可以利用虛數的性質，盡情地操弄數學技巧了，比如lni=ln［（1 i）/（1-i）］=ln（1 i）-ln（1-i），
立馬就有：
萊布尼茨級數
這個級數，就是著名的萊布尼茲級數，萊布尼茲在1674年用其他其他非常復雜的辦法得到了它，但是用這個級數求圓周率效率太低，因為收斂速度實在太慢了。
我們依葫蘆畫瓢，再來變換：
對虛數i進行變換
利用同樣的技巧后，帶入對數級數，立馬得到：
圓周率級數
而這個級數收斂相當快，你只要取前四項，就能得到和祖沖之一樣的精度。
這個技巧屢試不爽，如果你把前面的2和3，換成5和-239，然后5 i取4次方，就可以得到另外一個收斂非常快的著名公式——梅欽公式，梅欽公式至今仍然是計算機計算圓周率的重要公式之一。
利用梅欽公式，就算手算，你也可以輕松地把圓周率精確到50位；至于如何分解，全在于你對虛數單位i的處理，這樣的處理方式有無數個，你得到的圓周率級數也就有無數個，它們的收斂速度不盡相同，不過大家在處理這種正負交錯的級數時，要特別小心了，因為條件收斂級數的“炸彈”很多的呢。
圓周率By艾伯史密斯
看到這里，你有沒有覺得虛數居然有如此強大的功能，我們隨便處理一下，就能得到不同的圓周率級數，是不是相當有趣呢！其實，關于虛數的應用，還有很多，利用上面的技巧，你能構造其他計算π的級數嗎？歡迎留言告訴我們！
好啦！今天就和大家分享到這里，虛數是非常有趣且強大的數學工具，有興趣的讀者朋友記得關注我們，我們會分享更多有趣的數學知識。
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