雙曲線上一點與兩焦點構成的三角形周長（高中數學雙曲線焦點三角形面積公式）
雙曲線上的點與兩個焦點F1、F2構成了焦點三角形。
例1、過雙曲線
（a>0，b>0）的焦點F1的弦AB長為m，另一焦點為F2，則△ABF2的周長為
A.4a
B.4a+2m
C.
D.
分析：根據雙曲線的定義，在雙曲線的焦點三角形中，
，=2a，這是焦點三角形中的一個很重要的結論，從而求出△的周長。
解：根據雙曲線的定義，設F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，則，
，所以。因此，△ABF2的周長為4a+2m，故選B。
例2、設橢圓
和雙曲線
的公共焦點為F1、F2，P為兩曲線的一個交點，則cos∠F1PF2的值等于
A.
B.
C.
D.
分析：充分應用橢圓、雙曲線的定義，求出焦半徑，在雙曲線的焦點三角形中，利用余弦定理，從而求出cos∠F1PF2的值。
解：由題意，不妨設點P在雙曲線的右支上，則在橢圓中，
，在雙曲線中，，所以，。又，故在焦點三角形中，cos∠，因此，選B。
例3、
是雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足
=32，則∠
=____________。
解：不妨假設點P在雙曲線的右支上，則
，所以
在焦點三角形中，cos∠
，故∠=90°。
例4、已知雙曲線
的兩個焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積是_________。
解：不妨假設點P在雙曲線的右支上，則
由題意知
即
，所以，因此，。
例5、過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的弦PQ，點是另一個焦點，若
=，則雙曲線的離心率等于_________。
解：設、分別是雙曲線的左、右焦點，由題意知在焦點三角形
中，，，又，故有。
例6、若已知雙曲線
的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為l，能否在雙曲線的左支上求一點P，使
是P到l的距離d與
的等比中項？若能，請求出P點的坐標；若不能，請說明理由。
解：由題意，
，即，又，所以。
根據雙曲線的定義知，
，因此，。
故
，這與點P、、構成焦點三角形矛盾，所以雙曲線的左支上不存在點P，使是P到l的距離d與的等比中項。
