球的微積分（如何用微積分求球體積）
前段時間有人問，球的體積計算公式是什么？
由于長期依賴各類搜索，再加上對睡覺，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開發，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦后。之后再拿起筆嘗試推導我才愕然發現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。
于是我開始了相關探索，半天下來，不僅成功算了個球的表面積，還算了個球的體積，而這個過程，和微積分法則毫無關系。那么怎樣不用微積分就能算個球呢？
Credit: 3blue1brown
首先，拋棄了微積分這一曲線計算利器，我們的替代工具是：一點點相似三角形知識，一點點空間想象力，再加上中國古代數學家智慧的結晶——祖暅原理。
算個球的表面積！
眾所周知，球的表面積公式是 4πr2，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯翩，為什么正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什么不可告人的秘密？順著這個思路下去你可能會覺得完全無從下手，感到弱小，可憐，又無助。
這也正是我初期經歷的心路歷程，直到我發現了另一個秘密：4πr2正好是這個球外接圓柱的外圍面積。
Credit: 3blue1brown
想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來說，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿外面這個”圓筒”。因為圓筒的面積是圓周長乘上筒高：2πr*2r=4πr2，和里面這顆球的表面積不謀而合！
就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會變形，它們的寬度可能增大，而高度會相應變小。
Credit: 3blue1brown
小塊可以從平視和俯視兩個方向來觀察。那我們就來看看，投影過程中，我們的小塊到底經歷了什么不為人知的變化。
先看俯視圖：
Credit: 3blue1brown
從中心軸往外投影，聰明的你一定已經發現，投影的距離越遠，小塊就會變得越寬。
所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點的小塊，投到圓筒上之后，寬度增加得越多；位于赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發生變化。
EF 被拉長成了 CD
如果你知道相似三角形的比例關系，由于 △AEF和△ADC 相似，所以，這個增大的倍數是 r/d，也就是
CD/EF=r/d
對于球上不同的緯度，d 會改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀察到的現象一致。
類似地，可以看看平視方向的情況：
Credit: 3blue1brown
顯然，這個方向上的投影會讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線段長度會縮短。
因為球的體態圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近“平躺”，投影之后高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。
JH 投影后萎縮成了 EF
顯然 ∠α=∠β=∠γ，于是 △HAD，△HIJ 兩個三角形是相似三角形，根據比例關系，我們知道：
EF/JH=d/r
也就是說，平視方向投影會讓小塊高度萎縮，縮小比例是 d/r。
于是神奇的現象發生了，球上的每一個小塊經過投影之后形狀的確會發生變化，寬度拉長了 r/d 倍，同時高度萎縮了 d/r 倍，而這兩個倍數相乘正好等于 1。
如此一來，小塊投影前后的面積其實沒有變化！僅僅利用幾個三角形，我們就開心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來替代。
投影變化前后，小塊的面積不變
那么，算個球的表面積 S球=S筒 =2πr*2r=4πr2。
祖暅原理
祖暅原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列里原理），因為卡瓦列里在17世紀提出了類似的等積原理，用于復雜幾何領域，但實際上祖暅的發現比他早了1100年。
“冪勢既同，則積不容異”這句話就出自于祖暅。如果你對高中數學課本有印象，也許記得這里的“冪”指體積，“勢”則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個剖面面積也一樣，它們的體積就相等。
祖暅原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問題，從而算球的體積。但現在更加常見的用法是下面這樣:
圖中球的體積等于圓柱去掉兩個圓錐的體積，原因就是它們每個剖面的面積都相等。有興趣的小伙伴可以用半球為例，試著計算。
利用上圖很容易發現，在高度是 h 的地方，球的截面積是：π*（r2-h2），而圓柱減去圓錐的截面積是：πr2（圓柱截面）-πh2（圓錐截面），它們正好相等。
于是，算個球問題一下變成了算圓柱和圓錐的體積問題。
算個球的體積！
了解了祖暅原理，我們就可以繞過微積分，直接算球了！
由祖暅原理，半球的體積經過我們巧妙的轉化，成了用圓柱和圓錐的體積來表示。
眾所周知，圓柱體積是圓面積和高度相乘，V圓柱=πr2*r=πr3。而圓錐的體積，假如你不知道，查閱資料會發現 V圓錐=πr3/3，正好是圓柱的三分之一。
好奇寶寶也許會問，三分之一是怎么來的？既然你誠心誠意的問了，祖暅會大發慈悲的為你解答。
我們還是逮住之前的那個圓錐（截面面積是πh2），然后把煩人的 π 除去，截面積就成了 h2。那么誰的截面積是用 h2 表示呢？答：邊長和高度都是 r 的四棱錐。
a. 除去 π 后，圓錐變成了四棱錐（平視圖）
b. 四棱錐每一個橫截面都是邊長為 h 的正方形（斜視圖）
這下好了，僅僅是做了個除法，問題似乎已經簡單多了！
但你可能還是會問，四棱錐的體積又要怎么計算呢？別著急，我們先好好觀察一下這個四棱錐。它的頂點在中心上方，感覺還是不夠友好，怎么能再變換一下形狀呢，沒錯，是時候祭出祖暅原理了。
把頂點移到一個角上，新的四棱錐有三條互相垂直的邊，并且體積不變
到了這里，問題基本上已經解決了。什么，你還沒看出來？調動你的空間想象力，調整一下角度，把這樣的四棱錐放在正方體里似乎正合適，你能看出可以同時放進幾個嗎？
為了讓你們相信是 3 個而精心制作的 gif 動圖
是 3 個！萬事大吉~
正方體的體積顯然是 r3，這樣一來，四棱錐體積就是 r3/3。接著，對應圓錐的體積只需要乘上 π，V圓錐=r3/3*π。最后半球的體積 V半球=V圓柱 – V圓錐=πr3-πr3/3=2/3 (πr3)，所以 V球=4/3 (πr3)，是不是和書上寫的公式一模一樣呢！
成功算球！完結撒花~
作為一期數學類的硬核推送，小編想說的是，很多時候只要切換一下思路，嘗試別的工具，就可能開辟出新的道路。
所謂的數學之光，我想也就是在這里。
