什么是向量
在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。
與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。
向量垂直公式
a,b是兩個向量
a=（a1,a2） b=（b1,b2）
a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一個常數
a垂直b：a1b1 a2b2=0
證明：
①幾何角度：
向量A (x1,y1),長度 L1 =√(x12 y12)
向量B (x2,y2),長度 L2 =√(x22 y22)
（x1,y1）到(x2,y2)的距離：D=√[(x1 – x2)2 (y1 – y2)2]
兩個向量垂直,根據勾股定理：L12 L22 = D2
∴ (x12 y12) (x22 y22) = (x1 – x2)2 (y1 – y2)2
∴ x12 y12 x22 y22 = x12 -2x1x2 x22 y12 – 2y1y2 y22
∴ 0 = -2x1x2 – 2y1y2
∴ x1x2 y1y2 = 0
②擴展到三維角度：
x1x2 y1y2 z1z2 = 0,
那么向量(x1,y1,z1)和（x2,y2,z2）垂直
綜述，對任意維度的兩個向量L1,L2垂直的充分必要條件是:L1×L2=0 成立。
平面向量加法公式
已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB BC
即有：AB BC=AC。
用坐標表示時，顯然有：AB BC=(x2-x1,y2-y1) (x3-x2,y3-y2)=(x2-x1 x3-x2,y2-y1 y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。
這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差
三角形法則：AB BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則，簡記為：首尾相連、連接首尾、指向終點。
四邊形法則：已知兩個從同一點A出發的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點的對角線AD就是向量AC、AB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點 對角連。
對于零向量和任意向量a，有：0 a=a 0=a。
向量的加法滿足所有的加法運算定律，如：交換律、結合律。
平面向量減法公式
AB-AC=CB，這種計算法則叫做向量減法的三角形法則
簡記為：共起點、連中點、指被減。
-(-a)=a；a (-a)=(-a) a=0；a-b=a (-b)。
平面向量數乘公式
實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。
當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，
當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，
當λ = 0時，λa=0。
用坐標表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)
設λ、μ是實數，那么滿足如下運算性質：
(λμ)a= λ(μa)
(λ μ)a= λa μa
λ(a±b) = λa± λb
(－λ)a=－(λa) = λ(－a)
|λa|=|λ||a|
平面向量數量積公式
已知兩個非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積，記作a·b。
零向量與任意向量的數量積為0。數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2 y1·y2
