首先有下面定理：
這里的符號
分別表示恒等映射和函數映射。
上述證明中用到的定理2和定理4分別如下：
以上定理7容易看懂。
這個定義與自然數集的定義相對比：
前者是阿列夫?，后者是阿列夫零??。
以上的證明比較簡單，只要建立一個相對應的函數就可以了。
另外，集合（0，1）和集合[0,1]對等，是因為兩者都是無限集，而集合（0，1）是集合[0,1]的真子集，按照定理2即可得出結論。
由以上結論還可以推測，全體實數集合與（0，1）中的任何一個真子集都等勢，也就是任意一個開區間，無論這個開區間多小。
以上推理表示，無理數集合實際上包括有理數集合與無理數集合兩部分，而且有理數集合可數無理數集合不可數，所以我們可以認為，無理數集合中的元素個數必有理數集合多得多。
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