圓的18個定理

1、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

推理過程

根據旋轉的性質，將∠AOB繞圓心O旋轉到∠A'OB'的位置時，顯然∠AOB=∠A'OB'，射線OA與OA'重合，OB與OB'重合，而同圓的半徑相等，OA=OA'，OB=OB'，從而點A與A'重合，B與B'重合。

因此，弧AB與弧A'B'重合，AB與A'B'重合。即

圓心角定理

弧AB=弧A'B'，AB=A'B'。

則得到上面定理。

同樣還可以得到：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。

所以，在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等。

推論： 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

定理證明：

已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.

證明：

情況1：

如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

∵OA、OC是半徑

圖1

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC ∠ACO=2∠BAC

情況2：

如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時：

連接AO，并延長AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半徑

圖2

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）

∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）

∠COD=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）

∴∠BOC=∠BOD ∠COD=2(∠BAD ∠CAD)=2∠BAC

情況3：

如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OA,OB。

圖3

解：∵OA、OB、OC、是半徑

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）

∠DOC=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圓心角等于180度的情況呢？

看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，

顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2

∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA ∠OCB=

（∠BOC ∠AOC）/2=90度

所以2∠ACB=∠AOB

圓心角大于180度的情況呢？

看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，

只要延長AO交園于點D，由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度

根據情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC

根據情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC

所以∠ACB ∠ADB=∠ACB ∠ADC ∠BDC

=∠ACB ∠ABC ∠BAC=180度

即∠ACB=180度-∠ADB

由情況2可知：∠AOB=2∠ADB

所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

推論1： 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所

推論3： 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

3、垂徑定理：垂直弦的直徑平分該弦，并且平分這條弦所對的兩條弧。

（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

4、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于該半徑的直線是圓的切線。

切線的判定方法

【定義】

如果直線與圓只有一個公共點，這時直線

與圓的位置關系叫做相切。這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。

切線性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

【證明】

?

已知：直線l與⊙O有交點A，且OA⊥l ；

求證：l 是⊙O的切線。

證明：假設直線l不是⊙O的切線，

則⊙O與l有兩個交點，設另外一個交點為B，連接OB。

由于A、B都是⊙O上的點，因此OA=OB。又OA⊥l ，由于直角三角形中斜邊大于直角邊，

有OA<OB，與OA=OB矛盾；

因此假設不成立，l 是⊙O的切線。

5、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這一點與圓心的連線平分這兩條切線的夾角。

切線長定理的證明：

定理證明示意圖（看上圖）

欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。

如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

切線長定理推論：

①圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等；

②從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

6、公切線長定理：如果兩圓有兩條外公切線或兩條內公切線，那么這兩條外公切線長相等，兩條內公切線長也相等。如果他們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上。

7、相交弦定理：圓內兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的乘積相等。

證明：連結AC,BD,由圓周角定理的推論,得∠A＝∠D,∠C＝∠B.（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.） ∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD＝PC∶PB,PA·PB＝PC·PD

8、切割線定理：從圓外一點向圓引一條切線和一條割線，則切線長是這點到割線與圓的兩個交點的兩條線段長

9、割線長定理：從圓外一點向圓引兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

已知：從圓O外一點P引兩條圓的割線，一條交圓于A、B，另一條交圓于C、D

求證：AP·BP=CP·DP

證明：過點P作圓O的切線，記切點為T

由切割線定理可知：AP·BP=PT2，CP·DP=PT2

∴AP·BP=CP·DP

10、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑

推論1 ：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

推論2： 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

切線的性質：

1、切線和圓只有一個公共點；

2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；

3、切線垂直于經過切點的半徑；

4、經過圓心垂直于切線的直線必過切點；

5、經過切點垂直于切線的直線必過圓心。

11、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

推理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角度數的一半。

如上圖，已知：直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦。

求證：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

證明：設圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠OCB=∠OBC

∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

又∵∠BOC=2∠BAC

∴∠OCB=90°-∠BAC

∴∠BAC=90°-∠OCB

又∵∠TCB=90°-∠OCB

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

綜上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

12、定理： 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

13、定理： 把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

練習題：把一個圓五等分

拓展：

14、定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

15.等圓和同心圓

16、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

17、定理： 圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。

18、(d是圓心距，R、r是半徑)

①兩圓外離 d>R r

②兩圓外切 d=R r

③兩圓相交 R-r<dr)

④兩圓內切 d=R-r(R>r)

⑤兩圓內含dr)