今天學(xué)生問了一個與中點弦有關(guān)的題目，利用點差法可得出圓錐曲線中與中點弦有關(guān)的三種常用結(jié)論，即弦長所在直線的斜率與原點到弦中點直線的斜率乘積為定值，與中點弦有關(guān)的題型常見于求直線的斜率或圓錐曲線的離心率，但如果所給的不再是中點，而是三等分點時，又該怎么處理，先看下面的常規(guī)題目：
題目很簡單，根據(jù)題目所給的傾斜角和中垂線可求出直線OM傾斜角，利用中點弦結(jié)論可確定出b2/a2的值，進而求出離心率，這是中點弦最常見的用法。
但如果給出的是三等分點，又該怎么處理？思路有兩個，一是三等分點畢竟也是中點，確定另外一個等分點，再確定弦的中點坐標(biāo)，也可以使用中點弦結(jié)論，但很多題目中給出三等分點其實也是讓用中點弦來處理，如下題：
分析：C,D是兩個三等分點，所以CD的中點也是整個弦長的中點，取CD的中點，可知CE=OE，即MN所在直線的斜率和OE所在斜率互為相反數(shù)，利用中點弦結(jié)論可求出MN所在直線的斜率和直線方程，過程如下：
上題還是過于特殊，兩個三等分點正好是直線與坐標(biāo)軸的交點，若是一般情況，如下題所示：
分析：由于N點在第一象限內(nèi)，所以N點肯定為靠近直線與右支交點處的三等分點，取另外一個三等分點A，可根據(jù)N點坐標(biāo)設(shè)出A,Q的坐標(biāo)，再求出P點坐標(biāo)，題目中求l的方程，只需再求出P或Q點的坐標(biāo)即可，即用一組方程組求出某點的坐標(biāo)即可。
此時利用中點弦的思想，求出AN的中點，利用斜率乘積為定值，此時的式子不僅過于復(fù)雜，而且還缺少另外一個與之組合的方程，若分別將P,Q兩點帶入雙曲線中解方程組，方程組中既有二次項又有一次項和常數(shù)項，聯(lián)立之后過于復(fù)雜，不妨先對將P,Q兩點帶入的方程進行化簡，用最基礎(chǔ)的類似于點差法思想去化簡：
觀察框住的兩個式子，展開之后都有二次項和常數(shù)項，若2式乘2再與1式相加可直接消去一次項，若2式乘4再減去1式可直接消去二次項，利用兩個方程化簡即可求出s,t，從而求出直線的斜率和方程。
與三等分點與中點弦結(jié)合的題目較少，有些三等分點可轉(zhuǎn)化為中點弦問題直接利用結(jié)論處理，其他的可按照將直線與圓錐曲線的兩個交點帶入曲線方程，對曲線方程變形化簡即可，這種方法也是最常規(guī)點差法的變式，方法可歸納為點差點和法。
