今天學(xué)生問(wèn)了一個(gè)與中點(diǎn)弦有關(guān)的題目，利用點(diǎn)差法可得出圓錐曲線中與中點(diǎn)弦有關(guān)的三種常用結(jié)論，即弦長(zhǎng)所在直線的斜率與原點(diǎn)到弦中點(diǎn)直線的斜率乘積為定值，與中點(diǎn)弦有關(guān)的題型常見(jiàn)于求直線的斜率或圓錐曲線的離心率，但如果所給的不再是中點(diǎn)，而是三等分點(diǎn)時(shí)，又該怎么處理，先看下面的常規(guī)題目：
題目很簡(jiǎn)單，根據(jù)題目所給的傾斜角和中垂線可求出直線OM傾斜角，利用中點(diǎn)弦結(jié)論可確定出b2/a2的值，進(jìn)而求出離心率，這是中點(diǎn)弦最常見(jiàn)的用法。
但如果給出的是三等分點(diǎn)，又該怎么處理？思路有兩個(gè)，一是三等分點(diǎn)畢竟也是中點(diǎn)，確定另外一個(gè)等分點(diǎn)，再確定弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，也可以使用中點(diǎn)弦結(jié)論，但很多題目中給出三等分點(diǎn)其實(shí)也是讓用中點(diǎn)弦來(lái)處理，如下題：
分析：C,D是兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CD的中點(diǎn)也是整個(gè)弦長(zhǎng)的中點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)，可知CE=OE，即MN所在直線的斜率和OE所在斜率互為相反數(shù)，利用中點(diǎn)弦結(jié)論可求出MN所在直線的斜率和直線方程，過(guò)程如下：
上題還是過(guò)于特殊，兩個(gè)三等分點(diǎn)正好是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，若是一般情況，如下題所示：
分析：由于N點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以N點(diǎn)肯定為靠近直線與右支交點(diǎn)處的三等分點(diǎn)，取另外一個(gè)三等分點(diǎn)A，可根據(jù)N點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出A,Q的坐標(biāo)，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)，題目中求l的方程，只需再求出P或Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可，即用一組方程組求出某點(diǎn)的坐標(biāo)即可。
此時(shí)利用中點(diǎn)弦的思想，求出AN的中點(diǎn)，利用斜率乘積為定值，此時(shí)的式子不僅過(guò)于復(fù)雜，而且還缺少另外一個(gè)與之組合的方程，若分別將P,Q兩點(diǎn)帶入雙曲線中解方程組，方程組中既有二次項(xiàng)又有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，聯(lián)立之后過(guò)于復(fù)雜，不妨先對(duì)將P,Q兩點(diǎn)帶入的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，用最基礎(chǔ)的類似于點(diǎn)差法思想去化簡(jiǎn)：
觀察框住的兩個(gè)式子，展開(kāi)之后都有二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，若2式乘2再與1式相加可直接消去一次項(xiàng)，若2式乘4再減去1式可直接消去二次項(xiàng)，利用兩個(gè)方程化簡(jiǎn)即可求出s,t，從而求出直線的斜率和方程。
與三等分點(diǎn)與中點(diǎn)弦結(jié)合的題目較少，有些三等分點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦問(wèn)題直接利用結(jié)論處理，其他的可按照將直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)帶入曲線方程，對(duì)曲線方程變形化簡(jiǎn)即可，這種方法也是最常規(guī)點(diǎn)差法的變式，方法可歸納為點(diǎn)差點(diǎn)和法。
