上過小學的朋友應該都知道，除法、分數(shù)和比三者之間有著密不可分的關系：除法中的被除數(shù)、除數(shù)、商，相當于分數(shù)中的分子、分母、分數(shù)值，相當于比中的前項、后項、比值。所以，商不變規(guī)律、分數(shù)的基本性質和比的基本性質三者的推導也有關聯(lián)，并且都使用了合情推理的思想方法，下面咱們逐一進行分析。
“商不變規(guī)律”是人教版數(shù)學四年級上冊第87頁的學習內容。例題首先呈現(xiàn)了兩組計算題（1）16÷8、160÷8、320÷8；（2）200÷2、200÷20、200÷40，要求學生通過計算、觀察說說發(fā)現(xiàn)了什么。從（1）中可以發(fā)現(xiàn)“除數(shù)不變，商隨被除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律；從（2）中可以發(fā)現(xiàn)“被除數(shù)不變，商隨除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律。
接著，第（3）組題目6÷3、60÷30、600÷300、6000÷3000，也要求學生說一說發(fā)現(xiàn)。引導學生從上往下觀察，可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都乘一個相同的數(shù)，商不變?！保粡南峦嫌^察，可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都除以一個相同的數(shù)，商不變”，然后將兩個結論合起來就是“商不變規(guī)律”，不過得加上下面的提示“同乘或同除以的這個數(shù)不能是0”。由此得出完整的商不變規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)，0除外，商不變。這種通過觀察某類事物中部分對象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質，推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法就是合情推理中的不完全歸納法。
“分數(shù)的基本性質”是人教版數(shù)學五年級下冊第57頁的學習內容。教材重點呈現(xiàn)了展開合情推理的全過程。首先，借助動手操作和直觀圖示發(fā)現(xiàn)分數(shù)的相等關系，接下來進一步觀察相等的分數(shù)中分子和分母的變化規(guī)律，引發(fā)猜想，再舉例加以驗證，最后概括總結出分數(shù)的基本性質。
例如題目給出三張同樣大小的正方形紙，按照二分之一、四分之二、八分之四的份額分別涂色，讓學生用分數(shù)表示涂色部分的大小，并且說一說有什么發(fā)現(xiàn)。通過觀察發(fā)現(xiàn)，3個涂色部分都是正方形紙的一半，也就是說二分之一、四分之二、八分之四這三個分數(shù)的大小都相等。在此基礎上再觀察分子和分母，發(fā)現(xiàn)分子和分母的變化相同，即分子乘幾，分母就乘幾；分子除以幾，分母就除以幾。由此得出分數(shù)的基本性質：分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)，0除外，分數(shù)的大小不變。整個過程滲透了不完全歸納的思想，培養(yǎng)學生合情推理的能力。
分數(shù)的基本性質的推導除了用不完全歸納法進行推理，還可以根據(jù)分數(shù)與除法的關系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律進行類比推理。因為除法中的被除數(shù)相當于分數(shù)中的分子，除數(shù)相當于分母，商相當于分數(shù)值，所以將“商不變的規(guī)律”中的除法各部分名稱替換成分數(shù)的各部分名稱就行了。這種依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法，就是合情推理中的類比推理。
“比的基本性質”是人教版數(shù)學六年級上冊第48頁的學習內容。因為之前學過“商不變規(guī)律”和“分數(shù)的基本性質”，所以教學時可以直接提出問題：“6:8和12:16相等嗎？如何證明？”學生可以利用求比值的方法說明，也可以利用比和除法、分數(shù)的關系，把比轉化成除法或分數(shù)的形式，利用“商不變規(guī)律”和“分數(shù)的基本性質”，進行類比推理，得出比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)，0除外，比值不變。
運用類比推理，就可以舉一反三使數(shù)學學習變得更加簡單了，您覺得呢？
