上過小學(xué)的朋友應(yīng)該都知道，除法、分?jǐn)?shù)和比三者之間有著密不可分的關(guān)系：除法中的被除數(shù)、除數(shù)、商，相當(dāng)于分?jǐn)?shù)中的分子、分母、分?jǐn)?shù)值，相當(dāng)于比中的前項(xiàng)、后項(xiàng)、比值。所以，商不變規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)三者的推導(dǎo)也有關(guān)聯(lián)，并且都使用了合情推理的思想方法，下面咱們逐一進(jìn)行分析。
“商不變規(guī)律”是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)第87頁的學(xué)習(xí)內(nèi)容。例題首先呈現(xiàn)了兩組計(jì)算題（1）16÷8、160÷8、320÷8；（2）200÷2、200÷20、200÷40，要求學(xué)生通過計(jì)算、觀察說說發(fā)現(xiàn)了什么。從（1）中可以發(fā)現(xiàn)“除數(shù)不變，商隨被除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律；從（2）中可以發(fā)現(xiàn)“被除數(shù)不變，商隨除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律。
接著，第（3）組題目6÷3、60÷30、600÷300、6000÷3000，也要求學(xué)生說一說發(fā)現(xiàn)。引導(dǎo)學(xué)生從上往下觀察，可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都乘一個(gè)相同的數(shù)，商不變。”；從下往上觀察，可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都除以一個(gè)相同的數(shù)，商不變”，然后將兩個(gè)結(jié)論合起來就是“商不變規(guī)律”，不過得加上下面的提示“同乘或同除以的這個(gè)數(shù)不能是0”。由此得出完整的商不變規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，0除外，商不變。這種通過觀察某類事物中部分對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法就是合情推理中的不完全歸納法。
“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第57頁的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教材重點(diǎn)呈現(xiàn)了展開合情推理的全過程。首先，借助動(dòng)手操作和直觀圖示發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的相等關(guān)系，接下來進(jìn)一步觀察相等的分?jǐn)?shù)中分子和分母的變化規(guī)律，引發(fā)猜想，再舉例加以驗(yàn)證，最后概括總結(jié)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。
例如題目給出三張同樣大小的正方形紙，按照二分之一、四分之二、八分之四的份額分別涂色，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示涂色部分的大小，并且說一說有什么發(fā)現(xiàn)。通過觀察發(fā)現(xiàn)，3個(gè)涂色部分都是正方形紙的一半，也就是說二分之一、四分之二、八分之四這三個(gè)分?jǐn)?shù)的大小都相等。在此基礎(chǔ)上再觀察分子和分母，發(fā)現(xiàn)分子和分母的變化相同，即分子乘幾，分母就乘幾；分子除以幾，分母就除以幾。由此得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，0除外，分?jǐn)?shù)的大小不變。整個(gè)過程滲透了不完全歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的推導(dǎo)除了用不完全歸納法進(jìn)行推理，還可以根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律進(jìn)行類比推理。因?yàn)槌ㄖ械谋怀龜?shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)中的分子，除數(shù)相當(dāng)于分母，商相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值，所以將“商不變的規(guī)律”中的除法各部分名稱替換成分?jǐn)?shù)的各部分名稱就行了。這種依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法，就是合情推理中的類比推理。
“比的基本性質(zhì)”是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第48頁的學(xué)習(xí)內(nèi)容。因?yàn)橹皩W(xué)過“商不變規(guī)律”和“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，所以教學(xué)時(shí)可以直接提出問題：“6:8和12:16相等嗎？如何證明？”學(xué)生可以利用求比值的方法說明，也可以利用比和除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，把比轉(zhuǎn)化成除法或分?jǐn)?shù)的形式，利用“商不變規(guī)律”和“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，進(jìn)行類比推理，得出比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，0除外，比值不變。
運(yùn)用類比推理，就可以舉一反三使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加簡(jiǎn)單了，您覺得呢？
