今天我們來討論一下自然數平方和公式：
1^2 2^2 3^2 … n^2=？
如果只是證明這個公式，問題就很簡單，我們直接利用數學歸納法即可證明。
求證：1^2 2^2 3^2 … n^2
=n(n 1)(2n 1)/6
證明：方法一（數學歸納法）
1.當n=1時
左邊=1^2=1
右邊=1×(1 1)×(2×1 1)/6
=1×2×3/6=6/6=1
左邊=右邊，等式成立
2.假設當n=k時，等式也成立
1^2 2^2 3^2 … k^2
=k(k 1)(2k 1)/6
3.當n=k 1時
左邊=1^2 2^2 … k^2 (k 1)^2
=(1^2 2^2 3^2 … k^2) (k 1)^2
=k(k 1)(2k 1)/6 (k 1)^2
=[k(k 1)(2k 1) 6(k 1)^2]/6
=(k 1)[k(2k 1) 6(k 1)]/6
=(k 1)(2k^2 k 6k 6)/6
=(k 1)(2k^2 7k 6)/6
=(k 1)(k 2)(2k 3)/6
右邊=(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1]/6
=(k 1)(k 2)(2k 3)/6
左邊=右邊，等式依然成立
所以，對所有n∈N*，都有
1^2 2^2 3^2 … n^2
=n(n 1)(2n 1)/6，證畢！
但是，如果我們并不知道這個結論，而是來推出這個公式，問題的難度就大多了。
我們首先回顧一下完全立方公式：
(a b)^3=a^3 3a^2b 3ab^2 b^3
求：1^2 2^2 3^2 … n^2=?
解：方法二（傳統經典求法）
令Sn=1^2 2^2 3^2 … n^2
(1 n)^3=1 3n 3n^2 n^3
2^3=(1 1)^3=1 3×1 3×1^2 1^3
3^3=(1 2)^3=1 3×2 3×2^2 2^3
4^3=(1 3)^3=1 3×3 3×3^2 3^3
…………
(1 n)^3=1 3n 3n^2 n^3
將以上等式的左右兩邊相加：
2^3 3^3 … n^3 (n 1)^3=
n 3(1 … n) 3(1^2 … n^2)
(1^3 2^3 … n^3)
(n 1)^3=n 3n(n 1)/2 3Sn 1
3Sn=(n 1)^3-n-3n(n 1)/2-1
=[2(n 1)^3-2(n 1)-3n(n 1)]/2
=(n 1)[2(n 1)^2-2-3n]/2
=(n 1)(2n^2 n)/2
=n(n 1)(2n 1)/2
3Sn=n(n 1)(2n 1)/2
Sn=1^2 2^2 3^2 … n^2
=n(n 1)(2n 1)/6
除了以上經典求法外，今天我再介紹一種突破思維天際的好方法。
求：1^2 2^2 3^2 … n^2=?
解：方法三（突破思維天際）
首先根據等差數列求和公式，很容易證明：
n^2=1 3 5 … (2n-1)
1^2=1
2^2=1 3
3^2=1 3 5
…………
n^2=1 3 5 … (2n-1)
1^2 2^2 3^2 … n^2
=1 (1 3) (1 3 5) …
[1 3 5 … (2n-1)]
=n 3(n-1) 5(n-2) … (2n-1)
3(1^2 2^2 3^2 … n^2)
=2[n^2 (n-1)^2 (n-2)^2 … 1^2]
[n 3(n-1) 5(n-2) … (2n-1)]
=(2n^2 n) [2(n-1)^2 3(n-1)]
[2(n-2)^2 5(n-2)] … [2 (2n-1)]
=n(2n 1) (n-1)(2n 1) … (2n 1)
=(1 2 3 … n)(2n 1)
=n(n 1)(2n 1)/2
3(1^2 2^2 3^2 … n^2)
=n(n 1)(2n 1)/2
1^2 2^2 3^2 … n^2
=[n×(n 1)×(2n 1)]/6
