今天和大家一起復(fù)習(xí)的是洛必達(dá)法則，這個(gè)法則非常重要，在許多問(wèn)題的解法當(dāng)中都有出現(xiàn)。雖然時(shí)隔多年，許多知識(shí)點(diǎn)都已經(jīng)還給老師了，但是我仍然還記得當(dāng)年大一的時(shí)候，高數(shù)老師在講臺(tái)上慷慨激昂的樣子。
上篇文章當(dāng)中我們回顧了微分中值定理，今天要說(shuō)的洛必達(dá)法則其實(shí)是微分中值定理一個(gè)經(jīng)典的應(yīng)用。所以有遺忘或者是新關(guān)注的同學(xué)可以點(diǎn)下下方的鏈接回顧一下上篇文章的內(nèi)容。
用處
我們學(xué)習(xí)的目的往往很樸素，就是學(xué)以致用，之前的時(shí)候我總覺(jué)得這種想法有些現(xiàn)實(shí)，后來(lái)我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)了不能致用的知識(shí)都忘得差不多了。所以盡管我們的心態(tài)要放好，但是操作的時(shí)候可以實(shí)際一些，先從用處入手，也許能更好地理解也說(shuō)不定。
洛必達(dá)法則的應(yīng)用場(chǎng)景非常簡(jiǎn)單，就是能解決一些一下子無(wú)法求解的極限問(wèn)題。不知道大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，不管在什么領(lǐng)域，總有一些一下子無(wú)法解決的問(wèn)題。伴隨著對(duì)這些問(wèn)題的研究，我們的技術(shù)和理論在不斷的進(jìn)步，工作在不斷地簡(jiǎn)化，效率越來(lái)越高。無(wú)論是數(shù)學(xué)上某個(gè)領(lǐng)域的突破還是計(jì)算機(jī)當(dāng)中某些工具的迭代和演進(jìn)，莫不如此。
我們之前介紹極限的文章當(dāng)中講過(guò)一道例題：
在這題當(dāng)中，由于x趨向于0的時(shí)候， sinx 和x都趨向于0，我們要計(jì)算0除以0的結(jié)果，當(dāng)時(shí)為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們用上了夾逼法，對(duì)它進(jìn)行了縮放之后才得到了極限。類(lèi)似的極限還有很多，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)問(wèn)題在于當(dāng)分子和分母都趨向于0時(shí)，我們很難計(jì)算得到結(jié)果。
再比如x/x^2，這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，只要進(jìn)行約分，那么就是 1/x 的極限，x趨向于0時(shí)，顯然 1/x 趨向于無(wú)窮大。但如果不約分呢？它就是一個(gè)極限0除以極限0的問(wèn)題，和上面的結(jié)果不同，它的比值結(jié)果是無(wú)窮大。
洛必達(dá)法則就是為了解決上述這些極限問(wèn)題而出現(xiàn)的。
定義
洛必達(dá)法則的本質(zhì)是一個(gè)定理，它規(guī)定，如果一個(gè)形如
的極限，如果它滿(mǎn)足：
- x趨向于常數(shù)a時(shí)，函數(shù)f(x)和F(x)都趨向于0
- 在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)和F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，并且F'(x) 不等于 0
- 存在 lim f'(x)/F'(x)
那么：
也就是當(dāng)變量趨向于一個(gè)常數(shù)時(shí)，如果分子分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么我們可以用導(dǎo)數(shù)的極限比值來(lái)代替原函數(shù)的比值。
我們來(lái)試著證明這個(gè)定理，如果你回顧了微分中值定理的話，這個(gè)定理的證明非常簡(jiǎn)單。我們來(lái)試一下證明。
證明
由于函數(shù)在a點(diǎn)的去心鄰域可導(dǎo)，也就是說(shuō)函數(shù)在這個(gè)a的去心鄰域內(nèi)連續(xù)。那么我們套用柯西中值定理，在x趨向于a時(shí)，可以得到在區(qū)間(a, x)內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)ξ，使得：
到這里還差一點(diǎn)，因?yàn)檫€少了一個(gè)條件，書(shū)上的解釋是由于函數(shù)比值的極限與函數(shù)值無(wú)關(guān)，所以可以假設(shè)f(a)和F(a)等于0。我個(gè)人覺(jué)得這樣有些不厚道，就和證明過(guò)程里寫(xiě)易證、易得是一樣的。其實(shí)我們只要將這兩做差，證明一下差值等于0即可。
通分之后，可以得到：
到這里，不難看出來(lái)，當(dāng)x趨向于a的時(shí)候，上面的差值趨向于0，所以：
由于x趨向于a的時(shí)候，ξ也趨向于a，那么我們就得到了：
嘗試
我們學(xué)會(huì)了洛必達(dá)法則之后就可以活學(xué)活用來(lái)解決一些比較棘手的極限問(wèn)題了。比如剛才我們舉的例子就再也不是問(wèn)題了。
再來(lái)看一個(gè)：
到這里我們還是無(wú)法得到結(jié)果，看樣子是卡殼了。但是別著急，洛必達(dá)法則是可以嵌套使用的。原因很簡(jiǎn)單，只要我們把 f'(x) 看成是新的 f(x)，F(xiàn)'(x) 看成是新的 F(x)，只要新的函數(shù)還滿(mǎn)足洛必達(dá)法則的使用條件，那么我們可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。也就是說(shuō)，我們可以得到：
當(dāng)然使用嵌套也存在前提，前提就是二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 F''(x) 不等于0。同樣的道理，只要高階導(dǎo)數(shù)存在，并且分母不為0，我們可以一直嵌套下去。所以洛必達(dá)法則也可以稱(chēng)為套娃法則[狗頭]。有了套娃之后，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了，上面的問(wèn)題我們只要往下套就行了：
變形
除了套娃之外，洛必達(dá)法則還存在一個(gè)著名的變形。前面討論的使用范疇都是在x趨向于一個(gè)常數(shù)的情況下的，其實(shí)在一些特殊的情況下，當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，我們一樣可以套用洛必達(dá)法則。和基礎(chǔ)版本一樣，同樣需要函數(shù)f(x)和F(x)滿(mǎn)足一些條件：
- x趨向于正無(wú)窮時(shí)，f(x)和F(x)同時(shí)趨向于0或者無(wú)窮
- 存在N使得當(dāng)|x| > N時(shí)，f'(x)和F'(x)都存在，并且F'(x)不等于0
- 存在lim f'(x)/F'(x)
我們來(lái)看個(gè)例子：
我們可以看出來(lái)，當(dāng)x趨向于無(wú)窮的時(shí)候，分子分母都趨向于無(wú)窮。所以我們可以使用洛必達(dá)法則：
總結(jié)
洛必達(dá)法則在高數(shù)當(dāng)中非常重要，尤其是在計(jì)算極限的時(shí)候，很多看起來(lái)很麻煩的極限在經(jīng)過(guò)洛必達(dá)法則的轉(zhuǎn)換之后說(shuō)不定就簡(jiǎn)單得多。
但是關(guān)于洛必達(dá)法則使用的限制看起來(lái)有些麻煩，其實(shí)我們只需要牢記兩點(diǎn)即可。第一點(diǎn)是不管x趨向于什么值，只要保證分子分母同時(shí)趨向于0或者是無(wú)窮，并且導(dǎo)數(shù)存在，且分母的導(dǎo)數(shù)不為0即可。也就是說(shuō)如果分子分母的極限不同時(shí)為0或者無(wú)窮大，則不能使用洛必達(dá)法則。這一點(diǎn)一定要牢記，因?yàn)樵谖覀兌啻问褂寐灞剡_(dá)法則的過(guò)程當(dāng)中，很有可能出現(xiàn)分子分母不在滿(mǎn)足這個(gè)條件的情況，我們?cè)谑褂玫臅r(shí)候一定要銘記。
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參考資料
維基百科
高等數(shù)學(xué)（上海交大出版社）
程序員的數(shù)學(xué)
