數姐有話
一元二次方程中跟與系數的關系，是中考的一個難點，在未來高中階段，也是一個常考的點，所以，同學們在初學這塊內容時，要多多研究透徹！
| 內容 | 基本要求 | 略高要求 | 較高要求 |
| 一元二次方程 | 了解一元二次方程的概念，會將一元二次方程化為一般形式，并指出各項系數；了解一元二次方程的根的意義 | 能由一元二次方程的概念確定二次項系數中所含字母的取值范圍；會由方程的根求方程中待定系數的值 | |
| 一元二次方程的解法 | 理解配方法，會用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡單的數字系數的一元二次方程，理解各種解法的依據 | 能選擇恰當的方法解一元二次方程；會用方程的根的判別式判別方程根的情況 | 能利用根的判別式說明含有字母系數的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數的取值范圍；會用配方法對代數式做簡單的變形；會應用一元二次方程解決簡單的實際問題 |
知識點睛
1根的判別式
1.一元二次方程根的判別式的定義：
運用配方法解一元二次方程過程中得到
，顯然只有當
時，才能直接開平方得：
．
也就是說，一元二次方程
只有當系數a、b、c滿足條件
時才有實數根．這里
叫做一元二次方程根的判別式．
2.判別式與根的關系：
在實數范圍內，一元二次方程
的根由其系數a、b、c確定，它的根的情況(是否有實數根)由
確定．
判別式：設一元二次方程為
，其根的判別式為：
則
①
方程
有兩個不相等的實數根
．
②
方程
有兩個相等的實數根
．
③
方程
沒有實數根．
若a、b、c 為有理數，且Δ為完全平方式，則方程的解為有理根；若Δ為完全平方式，同時
是2a的整數倍，則方程的根為整數根．
說明:Update
(1)用判別式去判定方程的根時，要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用，當方程有兩個不相等的實數根時，Δ>0;有兩個相等的實數根時，Δ=0;沒有實數根時，Δ<0.
(2)在解一元二次方程時，一般情況下，首先要運用根的判別式
判定方程的根的情況(有兩個不相等的實數根，有兩個相等的實數根，無實數根)．當
=0時，方程有兩個相等的實數根(二重根)，不能說方程只有一個根．
① 當a>0時，拋物線開口向上，頂點為其最低點；
② 當a<0時，拋物線開口向下，頂點為其最高點．
3.一元二次方程的根的判別式的應用：
一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應用：
（1）運用判別式，判定方程實數根的個數；
（2）利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數值或取值范圍；
（3）通過判別式，證明與方程相關的代數問題；
（4）借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數模型，解幾何存在性問題，最值問題．
2韋達定理
如果一元二次方程
的兩根為
那么，就有
比較等式兩邊對應項的系數，得
①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達定理，即根與系數的關系．
因此，給定一元二次方程
就一定有①與②式成立．反過來，如果有兩數
滿足①與②，那么這兩數
必是一個一元二次方程
的根．利用這一基本知識常可以簡捷地處理問題．
利用根與系數的關系，我們可以不求方程
的根，而知其根的正、負性．
在
的條件下，我們有如下結論：
當
時，方程的兩根必一正一負．若
，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若
，則此方程的正根小于負根的絕對值．
當
時，方程的兩根同正或同負．若
，則此方程的兩根均為正根；若
，則此方程的兩根均為負根．
⑸ 韋達定理主要應用于以下幾個方面：
①已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數的值；
②已知方程，求關于方程的兩根的代數式的值；
③已知方程的兩根，求作方程；
④結合根的判別式，討論根的符號特征；
⑤逆用構造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結構時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；
⑤ 利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數后，一定要驗證方程的Δ．一些考試中，往往利用這一點設置陷阱．
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