一．概念描述
現(xiàn)代數(shù)學(xué)：點的定義一般有以下四種：
①不可以再分割的部分。
②幾何學(xué)上指沒有大小（即沒有長、寬、高）而只有位置，不可分割的圖形。如兩直線的相交處、線段的兩端都是點。
③在點集拓撲中的點，定義為一個拓撲空間中的集合的元素。
④公理化定義：在幾何學(xué)，拓撲學(xué)以及數(shù)學(xué)的相關(guān)分支中，一個空間中的點用于描述給定空間中一種特別的對象，在空間中有類似于體積、面積、長度或其他高維類似物。一個點是一個零維度對象。點作為最簡單的幾何概念，通常是幾何、物理、矢量圖形和其他領(lǐng)域的最基本的組成部分。點作為幾何中最基本的組成部分，點動成線，線動成面，面動成體。點也可以看作二維上無限小的面積、三維上無限小的體積等。在平面上的點可以用一個有序數(shù)對(x，y)來表示；在n維空間中，用n個有序?qū)崝?shù)組(x1x2…xn)表示空間中的一個點。
從數(shù)學(xué)的觀點看，第四個定義從零維到多維來理解點的定義最豐富、最全面。
小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有明確給出點的定義，只是在認識平面圖形“角，三角形、平行四邊形、梯形、圓”、認識立體圖形“長方體、正方體、圓錐”或給圖形畫高時提到了點，還有與線有關(guān)的點。這大致可以分成三種情況：
①圖形的認識：角的描述就是“從一點引出兩條射線組成的圖形”，這“一點”就是角的頂點；三角形有三個頂點，平行四邊形有四個頂點，圓錐有一個頂點。有關(guān)圓心、半徑、直徑的知識也都用到了點：從圓心到圓上任意一點的線段，叫作半徑；通過圓心且兩個端點都在圓上的線段，叫作直徑。
②給圖形畫高：三角形的高是“從三角形的一個頂點向它的對邊作一條垂線……”；平行四邊形的高是“從一條邊上的任意一點向?qū)呉咕€……”；梯形的高是“從上底的任意一點向下底引垂線……”；而“從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫作圓錐的高”。
③與線有關(guān)的點：連接兩點可以畫很多條線，其中線段最短，線段的長度就是這兩點間的距離；過直線上或直線外一點，畫已知直線的垂線或平行線等。
二．概念解讀
點，表示位置，它既無長度，也無寬度，是最小的單位。在平面構(gòu)成中，點的概念只是相對的，它在對比中存在。網(wǎng)中同一個圓點，在小的框架中會顯得很大，而在巨大的框架中又會顯得很小。比如，人類居住的地球與我們?nèi)祟愊啾容^是巨大的，但與宇宙相比較，它又是一個渺小的點，因此，點的概念是由相互比較的關(guān)系決定的。
幾何學(xué)中的點，只有具體位置，而無大小（即沒有長短、寬窄、薄厚），常用大寫字母A、B、C……表示。從幾何定義思考點和線是人們在解決實際問題的時候建立的一種模型，理論上的點和直線是不存在的。
點無大小，為什么線段卻有長度？舉個例子來解釋這個問題：對于一根長度為1的線段，我們把它均分為n份，則每份的長度等于1/n。當n趨于無窮大時，1/n是趨于0的，這個長度是忽略不計的，這趨于0的每一份線段我們把它稱之為點。無窮小乘無限大可以等于任何數(shù)，因此，雖然點是沒有大小的，但線段是可以有長度的。
三．教學(xué)建議
(1)點的意義非常豐富，可以從零維、一維、二維、三維……n維來理解，點是幾何圖形最基本的、不可再分的元素。
如在一節(jié)課中認識點，線，面，教師可讓學(xué)生通過觸摸實物，感悟基本圖形點，線，面，并由實物抽象出幾何圖形，提高其觀察、想象與分析能力。
教師也可利用課件演示線是由無數(shù)個點組成的，無數(shù)個點的排列分布不同會形成不同的線；還可以讓學(xué)生進一步理解面上也有無數(shù)個點。
此外，教師還可以專門引導(dǎo)學(xué)生認識平面圖形和立體圖形中特殊的點，如線段的端點、分點，圓的圓心，平面圖形和立體圖形的頂點等。
(2)點的趣味知識：長線段上的點與短線段上的點同樣多
線段的長度是有限的，但無論是長線段還是短線段，它們上面點的個數(shù)卻是無限的，并且長線段與短線段上的點都構(gòu)成一個無窮的點的集合。對于兩個集合A和B，如何比較其大小和多少呢，也就是怎樣確定A中的元素多還是B中的元素多，這就需要有個標準。對于有限集合大小的比較，我們可以采用“數(shù)一數(shù)”的辦法，對下無限集合就看我們能不能在A與B兩個集合的元素之問建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系。能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，就應(yīng)當承認集合A和B的元素是一樣多的。其實“數(shù)一數(shù)”的辦法也是一一對應(yīng)的辦法，只不過是把要數(shù)的元素與自然數(shù)間建立一一對應(yīng)罷了。
按照一一對應(yīng)的原則，不同長短兩條線段上的點是一樣多的。例如，線段AB和線段CD上的點只要通過如圖1的辦法就可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，所以線段AB和線段CD上的點是一樣多的。類似的，我們還可以得到半圓周上的點和直徑上的點一樣多（如圖2）；更進一步還可以得到，半圓周上的點還和無限長直線上的點一樣多（如圖3），由此，我們還能得出1毫米線段上的點和無限長的直線上的點也是一樣多。所以無論多么短的一條線段，只要它的長度不是0，它上面的點就和任意長度的線段乃至無窮直線上的點一樣多。
出現(xiàn)這種令人稱奇的結(jié)果，是由于幾何里的“點”，只有位置，沒有大小、長短、寬窄和薄厚，而且任何一條線段或直線上的點都是無限多的，這些點都非常緊密地排列在線段和直線上，沒有一點空隙。
四．推薦閱讀
(1)《幾何原本》（歐幾里得，江蘇人民出版社，2011）
該書的第一卷有關(guān)于點的概念的詳細描述。
(2)《小學(xué)數(shù)學(xué)中最易誤解的概念》（范立瓅，高荊，地質(zhì)出版社，2008）
該書第209-210頁“圖形與幾何”章節(jié)的“圖形認識”部分，對直線，射線和線段三者之間的關(guān)系以及點，線，面，體的概念有比較詳細的闡述。
