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對(duì) 頂 角 定 義
在幾何學(xué)中，對(duì)頂角是兩個(gè)角之間的一種位置關(guān)系。
兩條直線相交時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)，并產(chǎn)生以這個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)角。稱(chēng)其中不相鄰的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。或者說(shuō)，其中的一個(gè)角是另一個(gè)的對(duì)頂角。
一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角。對(duì)頂角的范圍介于0度到180度之間，0度和180度不算在內(nèi)。 互為對(duì)頂角的兩個(gè)角相等。
對(duì)頂角是具有特殊位置的兩個(gè)角，對(duì)頂角相等反映的是兩個(gè)角之間的大小關(guān)系。
兩條直線相交，構(gòu)成兩對(duì)對(duì)頂角。∠1與∠2為一對(duì)對(duì)頂角，∠3與∠4為一對(duì)對(duì)頂角。
對(duì)頂角相等的條件：兩條直線相交所形成的，且兩條邊互為延長(zhǎng)線的才是一對(duì)對(duì)頂角。 互為對(duì)頂角的兩個(gè)角其大小一定相等。
注意
1.對(duì)頂角一定相等，但 相等的角不一定是對(duì)頂角。
2.對(duì)頂角必須有共同頂點(diǎn)。
3.對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的。
在證明過(guò)程中使用對(duì)頂角的性質(zhì)時(shí)，以 圖2-22為例，幾何體書(shū)寫(xiě)語(yǔ)言為：
∵直線AB,CD相交于點(diǎn)O，
∴∠1=∠2，∠3=∠4(對(duì)頂角相等)。
對(duì)頂角 – 巧算對(duì)頂角：
任何兩條直線可以看成一個(gè)組合，這樣的組合有C(n，2)=n(n-1)/2 ，每個(gè)組合有兩對(duì)對(duì)頂角 ，因此n條直線相交于一點(diǎn)，共有2C(n，2)=n(n-1)對(duì)。即：
2條直線相交于一點(diǎn)，有(2)對(duì)不同的對(duì)頂角；
3條直線相交于一點(diǎn)，有(6)對(duì)不同的對(duì)頂角；
4條直線相交于一點(diǎn)，有(12)對(duì)不同的對(duì)頂角；
……………………
n條直線相交于一點(diǎn)，有n(n-1)對(duì)不同的對(duì)頂角。
同 位 角 定 義
如圖：
兩條直線a，b被第三條直線c所截（或說(shuō)a，b相交c），在截線c的同旁，被截兩直線a，b的同一方，我們把這種位置關(guān)系的角稱(chēng)為同位角
如圖1.0中的∠3與∠6為同位角，這兩個(gè)角分別在a，b的同一方（上方），并且都在c的同一側(cè)（右側(cè)）。
兩條直線a，b被第三條直線c所截會(huì)出現(xiàn)“三線八角”。
同位角的特征識(shí)別：
1.在截線的同旁；
2.在被截兩直線的同方向；
3.同位角截取圖呈類(lèi)似抽象的“F”型。
4.同位角是成對(duì)出現(xiàn)的。
同位角 – 平行線的性質(zhì)與判定
平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等。
平行線的判定：同位角相等，兩直線平行。
內(nèi) 錯(cuò) 角 定 義
內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
在幾何學(xué)中，內(nèi)錯(cuò)角是兩個(gè)角之間的一種位置關(guān)系。
當(dāng)一條直線D與另外兩條直線相交時(shí)，處在兩條直線之間的角一共有四個(gè)。這時(shí)，稱(chēng)其中位于直線D異側(cè)的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角，或者說(shuō)其中的一個(gè)角是另一個(gè)的內(nèi)錯(cuò)角。
上圖中，紅色區(qū)域是兩條直線的中間部分。
紅色區(qū)域內(nèi)，紅色的兩個(gè)角：角 2 和角8是內(nèi)錯(cuò)角，因?yàn)橐粋€(gè)在直線D的左側(cè)，一個(gè)在直線D的右側(cè)。同樣的，綠色的兩個(gè)角：角 3 和角5 也是內(nèi)錯(cuò)角。
內(nèi)錯(cuò)角的性質(zhì)：
若被直線D所截的兩條直線互相平行，那么相應(yīng)的內(nèi)錯(cuò)角度數(shù)相等。反之，若兩條直線被直線D所截得到的內(nèi)錯(cuò)角度數(shù)相等，那么這兩條直線互相平行。
內(nèi)錯(cuò)角的應(yīng)用和定義：
定義：兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
平行線的判定：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。
平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
內(nèi)錯(cuò)角的重點(diǎn)：截取出來(lái)的內(nèi)錯(cuò)角呈\”Z\”形(或反置)
同 旁 內(nèi) 角 定 義
同旁?xún)?nèi)角： 兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁?xún)?nèi)角。
在幾何學(xué)中，同旁?xún)?nèi)角是兩個(gè)角之間的一種位置關(guān)系。
當(dāng)一條直線D與另外兩條直線相交時(shí)，位于直線D一側(cè)，并且處在兩條直線之間的角一共有兩個(gè)。這時(shí)，稱(chēng)這兩個(gè)角互為同旁?xún)?nèi)角。或者說(shuō)，其中的一個(gè)角是另一個(gè)的同旁?xún)?nèi)角。
上圖中，紅色區(qū)域是兩條直線的中間部分。
紅色的兩個(gè)角：角2 和角5 是同旁?xún)?nèi)角，因?yàn)槎际窃谥本€D的左側(cè)。同樣的，綠色的兩個(gè)角：角3 和角8 也是同旁?xún)?nèi)角，因?yàn)槎际窃谥本€D的右側(cè)。
同旁?xún)?nèi)角的特識(shí)：
1.在截線的同一側(cè)；
2.夾在被截兩直線之間；
3.同旁?xún)?nèi)角截取圖呈\”ㄈ\”型或\”コ”型。
同旁?xún)?nèi)角的定理以及逆命題：
定理： 兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。 【互補(bǔ)角相加等于180°】
逆命題 ： 平行線的判定：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。
角 的 練 習(xí) 題
練習(xí)：根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，證明“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，和“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”。
假設(shè)角2、角3為同位角，角1、角3為對(duì)頂角，角2、角4為同旁?xún)?nèi)角，角1、角2為內(nèi)錯(cuò)角
1、證明：因?yàn)榻?=角2，角1=角3
所以角2=角3，
因?yàn)椤巴唤窍嗟龋瑑芍本€平行。”
所以證得“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。”
2、證明：因?yàn)榻? 角4=180度，角1=角2.
所以角2 角4=180度
因?yàn)榻? 角4=180度
所以角2=角3，又因?yàn)椤巴唤窍嗟龋瑑芍本€平行。”
所以證得“同旁?xún)?nèi)角相等，兩直線平行。”
