橢圓的面積
橢圓是數(shù)學(xué)和自然界的基本形狀。公元前 4 世紀(jì)由Menaechmus首次描述，它們已成為數(shù)學(xué)教育的標(biāo)準(zhǔn)元素。最值得注意的是，正如Johannes Kepler在 17 世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的那樣，它們非常精確地描述了行星軌道的路徑。橢圓可以被認(rèn)為是一個(gè)向一個(gè)方向拉伸的圓。在開始討論橢圓的面積之前，讓我們了解一些術(shù)語(yǔ)并了解什么是橢圓。
橢圓的定義
橢圓屬于圓錐曲線族，被定義為平面與圓錐成一定角度的交線。
橢圓顯示為紅色
橢圓也可以定義為一條線，其中所有點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離總和相同。這是一個(gè)復(fù)雜的定義，讓我們?yōu)g覽一下它并查看圖片以確保我們知道它的含義。
我們從定義橢圓的兩個(gè)稱為焦點(diǎn) F1和F2 的點(diǎn)開始。然后我們有一個(gè)設(shè)定的距離，我們稱該距離為X。在沿橢圓線的每個(gè)點(diǎn)A處， A和F1之間的距離加上A和F2之間的距離等于X 。
可以使用連接到焦點(diǎn)的字符串來繪制橢圓。字符串的長(zhǎng)度等于 X。
現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，我們將定義更多的長(zhǎng)度來理解省略號(hào)。
標(biāo)有多條線長(zhǎng)的橢圓
橢圓具有半長(zhǎng)軸（長(zhǎng)度定義為a）和半短軸（長(zhǎng)度定義為b）。半長(zhǎng)軸總是較長(zhǎng)的，并且與兩個(gè)焦點(diǎn)一致。還有從橢圓中心到焦點(diǎn)（定義為c）的距離。請(qǐng)注意，距離a出現(xiàn)了兩次。它既是橢圓中心到半長(zhǎng)軸末端的距離，又是焦點(diǎn)到半短軸末端的距離。看看你是否能確定為什么這是真的！提示：使用勾股定理和橢圓的原始定義，答案在本文底部。
最后一個(gè)重要的價(jià)值體現(xiàn)了橢圓的特征：它的偏心率。我們將偏心率定義為c和a的比值。結(jié)果是
我們可以將偏心率視為橢圓的“伸展”程度。偏心率為 0 的橢圓只是一個(gè)圓（焦點(diǎn)在同一點(diǎn)）。圓是橢圓的特例。一個(gè)偏心率為 1 的橢圓被無限拉長(zhǎng)，呈現(xiàn)為一條線。
橢圓面積
現(xiàn)在我們有了基本的定義，我們?nèi)绾斡?jì)算面積？前面提到圓是橢圓的特例，我們用下面的公式計(jì)算圓的面積：
要將其概括為橢圓，我們需要考慮值r 的含義。橢圓實(shí)際上有兩個(gè)不同的半徑，一個(gè)用于半長(zhǎng)軸a，一個(gè)用于半短軸b。事實(shí)證明，建立這種聯(lián)系是計(jì)算橢圓面積所需的唯一步驟。
如果您想要這個(gè)公式的具體證明，我建議您查看此處列出的兩個(gè)證明。第一個(gè)需要一些微積分知識(shí)，但它是一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的積分。第二個(gè)證明依賴于一些幾何定理和橢圓與圓之間的關(guān)系。在評(píng)論中讓我知道您更喜歡哪一個(gè)！
